Intégration et probabilités

Notes de cours

Plan du cours

Mesures et intégration

  • Dénombrabilité

  • Tribus

  • Caractérisation des mesures sur un espace dénombrable et sur un espace non dénombrable

  • Limites monotones

  • Exemples de mesures : Dirac, Lebesgue, Cantor

  • Fonctions étagées, fonctions mesurables

  • Construction et propriétés de l’intégrale de Lebesgue

  • Théorème de changement de variables et Fubini

Probabilités

  • Processus de Poisson

  • Processus de branchement

  • Espérance conditionnelle

  • Chaînes de Markov

  • Variables et vecteurs aléatoires

  • Vecteurs gaussiens

  • Convergences de variables aléatoires

    • Convergence \(L^p\) , p.s., proba, loi

    • Intégrabilité uniforme

    • Loi forte des grands nombres

    • TCL

    • Donsker

  • Martingales

Modélisation

  • Pour les softs,

    • Sage. Permet le calcul littéral et les méthodes numériques dans un même environnement.

    • Python et surtout son interface jupyter. Installer Anaconda

    • Prenez du temps pour vous familiariser avec les interfaces, notamment la façon de faire des graphiques vite et bien. Vous n’aurez pas le temps de vous poser ce genre de questions le jour de l’épreuve.

    • Dans les deux cas, la bibliothèque numpy est quasiment indispensable. La bibliothèque scipy contient aussi des choses intéressantes.

    • Une introduction à Python qui est le langage de base de Sage (Python 2) et Python. Il y a quelques différences entre python 2.7 et python 3.* mais rien de bien pénible.

    • Une autre introduction avec des indications sur la bibliothèque numpy

    • En ce qui concerne SAGE, il y un livre totalement dévolu aux maths aves SAGE

  • Pour les textes, quelques sites en contiennent beaucoup

Préparation à l’oral et à l’épreuve interne

Il est bien de s’intéresser aux leçons d’oral et à l’épreuve en tâche de fond même pendant la préparation des écrits.

Pour l’épreuve interne, vous devez produire un rapport en LaTeX qui précise

  • le niveau auquel vous comptez faire ce cours

  • les pré-requis attendus

  • les compétences que vous voulez leur faire acquérir

  • les moyens de les évaluer

  • un cours sur le thème choisi

  • une ou plusieurs applications numériques

Cela doit être un cours de probabilités et de modélisation aléatoire. Il vous est fortement conseillé de partir de l’un des textes de l’épreuve de modélisation et de bâtir un projet autour. Je suis à votre disposition en permanence pour vous en parler.